Trong hầu hết các trường hợp việc giải các bài toán liên quan đến tích phân bội bao gồm việc tìm kiếm một cách để giảm tích phân bội thành một tích phân lặp, một loạt các tích phân một biến, từng cái được giải quyết một cách trực tiếp. Đối với các hàm số liên tục, điều này được chứng minh bằng định lý Fubini. Đôi khi, có thể thu được kết quả lấy tích phân bằng cách kiểm tra trực tiếp mà không cần tính toán.

Sau đây là một số phương pháp đơn giản lấy tích phân:[1]

Lấy tích phân các hàm liên tục

Khi hàm lấy tích phân là một hàm hằng c, tích phân bằng với tích của c và các số đo các miền của cách lấy tích phân. Nếu c = 1 và miền là một tiểu vùng của R2, tích phân cho diện tích của vùng, trong khi nếu miền là một tiểu vùng của R3, tích phân cho thể tích của vùng.

Ví dụ: Đặt f(x, y) = 2 và

D = { ( x , y ) ∈ R 2   |   2 ≤ x ≤ 4   3 ≤ y ≤ 6 } {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ |\ 2\leq x\leq 4\,\ 3\leq y\leq 6\}}

trong trường hợp

∫ 3 6 ∫ 2 4   2   d x d y = 2 ∫ 3 6 ∫ 2 4   1   d x d y = 2 ⋅ area ( D ) = ( 2 ⋅ 3 ) ⋅ 2 = 12 {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot {\mbox{area}}(D)=(2\cdot 3)\cdot 2=12} ,

từ định nghĩa ta có:

∫ 3 6 ∫ 2 4   1   d x d y = area ( D ) . {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy={\mbox{area}}(D).}

Sử dụng tính đối xứng

Khi miền của phép lấy tích phân đối xứng về nguồn gốc với ít nhất một trong các biến lấy tích phân và hàm lấy tích phân là hàm lẻ liên quan đến biến này, tích phân bằng không, bởi vì tích phân trong hai nửa của các miền có giá trị tuyệt đối như nhau nhưng trái dấu. Khi hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với biến này, tích phân bằng hai lần tích phân trên một nửa miền, bởi vì tích phân trên hai phần của miền đều bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho f ( x , y ) = 2 sin ⁡ ( x ) − 3 y 3 + 5 {\displaystyle f(x,y)=2\sin(x)-3y^{3}+5} có tích phân trên miền

T = { ( x , y ) ∈ R 2   |   x 2 + y 2 ≤ 1 } , {\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}

một hình tròn với bán kính 1 có tâm tại gốc bao luôn biên.

Sử dụng tính chất tuyến tính, tích phân có thể phân tích thành ba phần:

∬ T ( 2 sin ⁡ x − 3 y 3 + 5 ) d x d y = ∬ T 2 sin ⁡ x d x d y − ∬ T 3 y 3 d x d y + ∬ T 5 d x d y {\displaystyle \iint _{T}(2\sin x-3y^{3}+5)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}

Hàm 2 sin ⁡ ( x ) {\displaystyle 2\sin(x)} là hàm lẻ trong biến x {\displaystyle x} và hình tròn T {\displaystyle T} đối xứng với trục y, do đó giá trị của tích phân đầu là 0. Tương tự, hàm 3y3 là hàm lẻ của y, và T đối xứng với trục x, và do đó tích phân thứ ba sẽ ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng. Do đó, tích phân gốc bằng diện tích của hình tròn nhân 5, hay 5π.

Ví dụ 2: Cho f(x, y, z) = x exp(y2 + z2) và vùng tích phân là hình cầu bán kính 2 với tâm tại gốc,

T = { ( x , y , z ) ∈ R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 } . {\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.}

"Khối cầu" đối xứng về cả ba trục, nhưng ta chỉ cần để lấy tích phân trên trục x để chứng minh rằng tích phân bằng 0, vì hàm đã cho là hàm lẻ của biến đó.

Các miền thông thường trên R2

Xem thêm: Thứ tự lấy tích phân

Phương pháp này được áp dụng cho bất kỳ miền D mà:

• phép chiếu của D vào một trong hai trục x hoặc y có biên là 2 giá trị a và b
• bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với trục này mà đi qua hai giá trị giao với miền trong một khoảng mà các điểm cuối được cho bởi đồ thị của hai hàm, α và β.

Trong tất cả các trường hợp, hàm được tính tích phân phải liên tục trên miền.

Trục x

Nếu miền D bình thường với trục x, và f: D → R là một hàm liên tục; thì α(x) và β(x) (được xác định trên đoạn [a, b]) là hai hàm số xác định D. Khi đó:

∬ D f ( x , y )   d x d y = ∫ a b d x ∫ α ( x ) β ( x ) f ( x , y ) d y . {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}

Trục y

Nếu miền D bình thường với trục y, và f: D → R là một hàm liên tục; thì α(y) và β(y) (được xác định trên đoạn [a, b]) là hai hàm số xác định D. Khi đó:

∬ D f ( x , y )   d x d y = ∫ a b d y ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x . {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.}

Ví dụ

Cho miền (Xin xem ảnh trong phần ví dụ):

D = { ( x , y ) ∈ R 2 : x ≥ 0 , y ≤ 1 , y ≥ x 2 } {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}

Tính

∬ D ( x + y ) d x d y . {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.}

Miền này bình thường với cả trục x và y. Để áp dụng các công thức bắt buộc phải tìm ra các hàm xác định D và các khoảng trên đó đều các hàm này xác định. Trong trường hợp này, hai hàm số này là:

α ( x ) = x 2  and  β ( x ) = 1 {\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1}

lúc này khoảng được cho bởi các giao điểm của các hàm với đường thẳng x = 0, từ đó [a, b] = [0, 1] là khoảng cần tìm (bình thường ta chọn trục x để hình dung tốt hơn).

Bây giờ có thể áp dụng công thức:

∬ D ( x + y ) d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ x 2 1 ( x + y ) d y = ∫ 0 1 d x   [ x y + y 2 2 ] x 2 1 {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}

(Lúc đầu tích phân thứ hai được tính bằng cách coi x là hằng số). Các hoạt động còn lại bao gồm việc áp dụng các kỹ thuật cơ bản để lấy tích phân:

∫ 0 1 [ x y + y 2 2 ] x 2 1 d x = ∫ 0 1 ( x + 1 2 − x 3 − x 4 2 ) d x = ⋯ = 13 20 . {\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}

Nếu chọn chuẩn tắc với trục y, ta có thể tính

∫ 0 1 d y ∫ 0 y ( x + y ) d x . {\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}

và đạt được cùng 1 kết quả.

Các miền chuẩn tắc trên R3

Việc mở rộng các công thức tích phân bội ba cần được rõ ràng:

nếu T là một miền tiêu chuẩn với mặt phẳng xy và được xác định bởi các hàm α(x, y) và β(x, y), thì

∭ T f ( x , y , z )   d x d y d z = ∬ D ∫ α ( x , y ) β ( x , y ) f ( x , y , z ) d z d x d y {\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dzdxdy}

(Định nghĩa này tương tự cho năm trường hợp chuẩn hoá khác trên R3).

Đổi biến

Các giới hạn của phép lấy tích phân thường không dễ thay đổi được (mà không chuẩn tắc hoặc với công thức phức tạp để tính tích phân). Đổi biến là viết lại tích phân một miền "thuận tiện" hơn, tích phân có thể được mô tả theo công thức đơn giản hơn. Để làm như vậy, hàm số phải được điều chỉnh cho tọa độ mới.

Ví dụ 1a: Cho hàm f ( x , y ) = ( x − 1 ) 2 + y {\displaystyle f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}} ; nếu đặt x ′ = x − 1 ,   y ′ = y {\displaystyle x'=x-1,\ y'=y} thì x = x ′ + 1 ,   y = y ′ {\displaystyle x=x'+1,\ y=y'} ta có hàm mới f 2 ( x , y ) = ( x ′ ) 2 + y . {\displaystyle f_{2}(x,y)=(x')^{2}+{\sqrt {y}}.}

• Tương tự cho miền vì nó bị giới hạn bởi các biến gốc mà đã được biến đổi (x và y trong ví dụ).
• các vi phân dx và dy chuyển đổi qua giá trị tuyệt đối của định thức ma trận Jacobian chứa các đạo hàm riêng của những biến đổi liên quan đến biến mới (ví dụ như chuyển đổi vi phân trong tọa độ cực).

Tồn tại ba "loại" cách đổi biến chính (một cách trong R2, hai cách trong R3); tuy nhiên, phép thế tổng quát hơn có thể thực hiện bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc.

Toạ độ cực

Trong R2 nếu miền có đối xứng tâm và hàm có một số tính chất đặc biệt mà ta có thể áp dụng việc chuyển đổi thành toạ độ cực (xem ví dụ trong hình) nghĩa là các điểm chung P(x, y) trong tọa độ Descartes chuyển sang các điểm tương ứng trong tọa độ cực. Điều đó cho phép thay đổi hình dạng miền và đơn giản hóa các phép toán.

Mối quan hệ căn bản để thực hiện phép chuyển đổi như sau:

f ( x , y ) → f ( ρ cos ⁡ ϕ , ρ sin ⁡ ϕ ) . {\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ).}

Ví dụ 2a: Hàm f ( x , y ) = x + y {\displaystyle f(x,y)=x+y} , áp dụng phép biến đổi ta được:

f ( ρ , ϕ ) = ρ cos ⁡ ϕ + ρ sin ⁡ ϕ = ρ ( cos ⁡ ϕ + sin ⁡ ϕ ) . {\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho (\cos \phi +\sin \phi ).}

Ví dụ 2b. Hàm f ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} , trong trường hợp này ta có:

f ( ρ , ϕ ) = ρ 2 ( cos 2 ⁡ ϕ + sin 2 ⁡ ϕ ) = ρ 2 {\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\rho ^{2}}

bằng cách sử dụng đồng nhất thức lượng giác Pythagore (rất hữu ích để đơn giản hóa phép toán này).

Việc chuyển đổi miền được thực hiện bằng cách xác định chiều dài lớn nhất của bán kính và độ phương vị của các góc được mô tả để tìm khoảng ρ, φ từ x, y.

Ví dụ 2c. Miền D = { x 2 + y 2 ≤ 4 } {\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 4\}} , đó là một đường tròn bán kính 2; hiển nhiên rằng các góc bị phủ là góc tròn, do đó φ thay đổi từ 0 đến 2π, trong khi bán kính dao động từ 0 đến 2.

Ví dụ 2d. Miền D = { x 2 + y 2 ≤ 9 ,   x 2 + y 2 ≥ 4 ,   y ≥ 0 } {\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}} đó là chóp tròn trong nửa mặt phẳng y dương (xin xem hình ảnh trong ví dụ); φ mô tả một góc mặt phẳng trong khi ρ thay đổi từ 2 đến 3. Do đó miền được biến đổi sẽ là hình chữ nhật sau:

T = { 2 ≤ ρ ≤ 3 ,   0 ≤ ϕ ≤ π } . {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}.}

Định thức Jacobian của phép biến đổi đó như sau:

∂ ( x , y ) ∂ ( ρ , ϕ ) = | cos ⁡ ϕ − ρ sin ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ ρ cos ⁡ ϕ | = ρ {\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho }

mà có được chính bằng cách chèn các đạo hàm riêng của x = ρ cos ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle x=\rho \cos(\phi )} , y = ρ sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=\rho \sin {\phi }} trong cột đầu tiên cho ρ {\displaystyle \rho } và trong cột thứ hai cho ϕ {\displaystyle \phi } , do đó vi phân d x d y {\displaystyle dx\,dy} trong phép biến đổi này trở thành ρ d ϕ d ρ {\displaystyle \rho \,d\phi \,d\rho } .

Khi các hàm số được biến đổi và miền được đánh giá, có thể xác định công thức đổi biến trong tọa độ cực:

∬ D f ( x , y )   d x d y = ∬ T f ( ρ cos ⁡ ϕ , ρ sin ⁡ ϕ ) ρ d ρ d ϕ . {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \,d\rho \,d\phi .}

ϕ {\displaystyle \phi } có giá trị trong khoảng [ 0 ,   2 π ] {\displaystyle [0,\ 2\pi ]} trong khi ρ {\displaystyle \rho } , một số đo của chiều dài, chỉ có thể có có giá trị dương.

Ví dụ 2e. Cho hàm f ( x , y ) = x {\displaystyle f(x,y)=x} và miền giống như Ví dụ 2d. Từ các phân tích trước đó của D chúng ta biết được các khoảng ρ (từ 2 lên 3) và φ (từ 0 đến π). Bây giờ hãy thay đổi các hàm:

f ( x , y ) = x ⟶ f ( ρ , ϕ ) = ρ cos ⁡ ϕ . {\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi .}

cuối cùng áp dụng công thức tích phân

∬ D x d x d y = ∬ T ρ cos ⁡ ϕ ρ d ρ d ϕ . {\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \phi \rho \,d\rho \,d\phi .}

Vì các khoảng đã được biết, ta được:

∫ 0 π ∫ 2 3 ρ 2 cos ⁡ ϕ d ρ d ϕ = ∫ 0 π cos ⁡ ϕ   d ϕ [ ρ 3 3 ] 2 3 = [ sin ⁡ ϕ ] 0 π   ( 9 − 8 3 ) = 0. {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \,d\rho \,d\phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}

Tọa độ hình trụ

Tọa độ cầu